16.4.5 Impostare la modalità di arrotondamento

La variabile ROUNDMODE permette di controllare a livello di programma la modalità di arrotondamento. La corrispondenza tra ROUNDMODE e le modalità di arrotondamento IEEE è mostrata in Tabella 16.5.

ROUNDMODE ha "N" come valore di default, ovvero si usa la modalità di arrotondamento IEEE 754 roundTiesToEven. In Tabella 16.5, il valore "A" seleziona l’arrotondamento lontano da zero (per eccesso). Questo è applicabile solo se la versione in uso della libreria MPFR lo supporta; altrimenti, l’impostazione di ROUNDMODE ad "A" non ha alcun effetto.

La modalità di default roundTiesToEven è la più preferita, ma allo stesso tempo la meno intuitiva. Questo metodo fa la cosa ovvia per la maggior parte dei valori, arrotondandoli per eccesso o per difetto alla cifra più prossima. Per esempio, arrotondando 1.132 alle due cifre decimali si ottiene 1.13, e 1.157 viene arrotondato a 1.16.

Tuttavia, se si deve arrotondare un valore posto esattamente a metà strada, le cose non funzionano come probabilmente si insegna a scuola. In questo caso, il numero è arrotondato alla cifra pari più prossima. Così arrotondando 0.125 alle due cifre si arrotonda per difetto a 0.12, ma arrotondando 0.6875 alle tre cifre si arrotonda per eccesso a 0.688. Probabilmente ci si è già imbattuti in questa modalità di arrotondamento usando printf per formattare numeri in virgola mobile. Per esempio:

BEGIN {
    x = -4.5
    for (i = 1; i < 10; i++) {
        x += 1.0
        printf("%4.1f => %2.0f\n", x, x)
    }
}

produce il seguente output quando viene eseguito sul sistema dell’autore:¹⁰⁵

-3.5 => -4
-2.5 => -2
-1.5 => -2
-0.5 => 0
 0.5 => 0
 1.5 => 2
 2.5 => 2
 3.5 => 4
 4.5 => 4

La teoria che sta dietro alla regola roundTiesToEven è che gli arrotondamenti di valori equidistanti in eccesso e in difetto si distribuiscono più o meno uniformemente, con la possibile conseguenza che errori di arrotondamento ripetuti tendono ad annullarsi a vicenda. Questa è la modalità di arrotondamento di default per funzioni e operatori di calcolo secondo IEEE 754.

BEGIN {
    pi = 3.1416
    OFMT = "%.f"        # Stampa il valore come numero intero
    print pi            # ROUNDMODE = "N" per default.
    ROUNDMODE = "U"     # Ora si cambia ROUNDMODE
    print pi
}

$ gawk -M -f roundmode.awk
-| 3
-| 4

Le altre modalità di arrotondamento sono usate raramente. Gli arrotondamenti verso l’infinito (roundTowardPositive) e verso il meno infinito (roundTowardNegative) vengono spesso usati per eseguire calcoli su intervalli, dove si adotta questa modalità di arrotondamento per calcolare i limiti superiore e inferiore per l’intervallo di valori in uscita. La modalità roundTowardZero può essere usata per convertire numeri in virgola mobile in numeri interi. Quando si arrotonda lontano da zero (per eccesso), viene scelto il numero più vicino di grandezza maggiore o uguale al valore.

Qualche esperto di analisi numerica dirà che la scelta dello stile di arrotondamento ha un grandissimo impatto sul risultato finale, e consiglierà di attendere sino al risultato finale dopo ogni arrotondamento. Invece, spesso si possono evitare problemi legati a errori di arrotondamento impostando all’inizio la precisione a un valore sufficientemente maggiore della precisione desiderata, in modo che il cumulo degli errori di arrotondamento non influisca sul risultato finale. Se si ha il dubbio che i risultati del calcolo contengano un’accumulazione di errori di arrotondamento, occorre, per accertare la cosa, controllare se si verifica una differenza significativa nell’output cambiando la modalità di arrotondamento.